Моделирование ближнего вихревого следа самолета. Линейная теория

Рассматривается установившееся безотрывное дозвуковое обтека­ние самолета идеальным газом. Возмущения, вносимые самолетом в поток, считаются малыми по сравнению со скоростью полета Уж. Предолагается, что течение вне самолета и следа за ним безвихревое. Потенциал возмущенного движения ф должен удовлетворять уравне­нию Прандтля-Глауерта

(1 — И2)д2ф/дх2 + д2ф/ду2 + д2ф/дг2 = 0. (7.1)

Здесь M = Уж/аж — число Маха, аж — скорость звука в невозму­щенной среде. Давление с линейной точностью удовлетворяет уравне­нию Коши-Лагранжа

р — Рж = — ржУждф/дх.

Уравнение (7.1) решается при следующих граничных условиях:

а) непроницаемость поверхности летательного аппарата для газа;

б) отсутствие перепада давления на вихревой пелене;

в) конєчность скорости (условие Чаплыгина-Жуковского) на задних кромках несущих элементов;

3 См. также: Белоцерковский Ал. С., Гиневский А. С. Взаимодействие даль­него вихревого следа самолета с поверхностью земли на взлетно-посадочных режимах. ЦАГИ, Препринт № 123, 1999, 20 с.

г) затухание возмущений на бесконечности.

Учет влияния поверхности земли на взлетно-посадочных режимах про­изводится с помощью зеркального отражения компоновки от поверхно­сти земли,

Поставленная задача решается методом дискретных вихрей [21], который сводится к следующему, Обтекание летательного аппарата мо­делируется с помощью газодинамических особенностей, располагаемых на плоских базовых элементах [8], На несущих поверхностях базовые элементы размещаются таким образом, чтобы соответствующая часть поверхности аппарата была близка к ним, Тела вращения (фюзеляж, мотогондолы) моделируются двумя взаимно перпендикулярными эле­ментами, представляющими собой проекции тела на вертикальную и горизонтальную плоскости, Такое моделирование позволяет учесть несущие свойства удлиненных тел и упростить задание геометрии элемента (см, гл, 3), Вихревые пелены сходят с задних кромок крыла, горизонтального оперения, горизонтальных и вертикальных плоскостей мотогондол при продольном движении и с вертикальных плоскостей фюзеляжа, вертикального оперения при боковом движении, т, е, при наличии Бокового ветра,

При численном решении задач выполняется переход от непрерыв­ного вихревого слоя к дискретным вихрям, Каждый базовый элемент разбивается на панели, на которых располагаются вихри и контрольные точки, Граничные условия удовлетворяются в контрольных точках, лежащих между вихрями по потоку и по размаху базовых элементов,

Таким образом, решение задачи сводится к решению системы алгебраических уравнений относительно неизвестных интенсивностей присоединенных вихрей (нагрузок) на самолете, По известным на­грузкам определяются аэродинамические производные коэффициентов сил dy*, фф и безразмерных циркуляций присоединенных вихрей Гє*, Здесь £і — безразмерные кинематические параметры, а (угол атаки) и uz (безразмерная скорость вращения относительно оси 0z) — для про­дольного движения; в (угол скольжения), шх (безразмерная скорость вращения относительно оси 0ж), шу (безразмерная скорость вращения относительно оси 0у) — для Бокового движения; S соответствует углу отклонения элементов механизации [21], Безразмерные циркуляции свободных вихрей определяли путем суммирования (с учетом направ­ления вращения) свободных вихрей и сходящих с крыла присоединен­ных вихрей,

В расчетах вихревых следов за разными самолетами число сво­бодных вихревых нитей находилось в пределах от 60 до 90, Для определения интенсивности вихрей при заданном режиме полета ко­эффициент подъемной силы определяли из условия равенства силы тяжести подъемной силе:

Поскольку при Больших углах отклонения закрылка правомерность расчетов в рамках линейной теории не очевидна, было выполнено сравнение результатов расчета и летного эксперимента [9] для само­лета Ту-204 при полете вдали от земли (высота H = 6000 м, число Маха M = 0,35). На рис. 7.4 представлены две проекции пластинчатой схематизации этого самолета. Его натурные размеры: размах крыла l = 40,88 м; средняя аэродинамическая хорда b = 4,11м; площадь крыла с подфюзеляжной частью S = 168,63 м2; угол стреловидности х = 28° и удлинение А = 10. Крыло самолета снабжено предкрылком, располо­жённым вдоль всей его передней кромки, и двухзвенным закрылком, разделенным мотогондолой на две секции. На взлетно-посадочных режимах предкрылок отклоняется на угол 27°, закрылок на угол 18° (взлет) и 37° (посадка) и выдвигается на 12% хорды.

Расчеты продольных и Боковых аэродинамических характеристик и циркуляций вихрей в ближнем вихревом следе за самолетом про­водили для трех конфигураций: крейсерской, взлетной и посадочной. Расчетное число Маха М^ = 0,3; высота полета H = 6000м. По­скольку углы отклонения элементов механизации не очень малы, для вычисления коэффициента подъемной силы использовали соотношение

cy = ca sin a cos а + c^p sin Апр + cSs sin A3 cos d3, (7.3)

где Апр — угол отклонения предкрылка, A3 — угол отклонения закрылка.

На рис. 7.5 показаны в сравнении расчетные (штриховые линии) и экспериментальные данные, полученные в трубном (сплошные кри­вые) и летном (точки) экспериментах [23] для крейсерской (7), взлет­ной (2) и посадочной (3) конфигураций. Удовлетворительное соот­ветствие данных расчета и экспериментов наблюдается в диапазоне углов атаки а = 0-12° для базовой конфигурации и а = 0-20° — с отклоненной механизацией, что, по-видимому, связано с задержкой наступления отрывных режимов. В летном эксперименте H = 6000 м, М^ = 0,28-0,45. В трубном эксперименте Re = (1 — 4) • 106, М^ =

Рис. 7.5. Сравнение расчетных и экспериментальных зависимостей Су(а) для самолета Ту-204 при крейсерской (а), взлєтной (б) и посадочной (в) конфигу­рациях

= 0,15-0,4 (Т-106) и Re = (5 — 6) • 106, M = 0,15 (Т-101). Приведенные на рис. 7.5 данные трубных испытаний пересчитаны на условия летного эксперимента [9] по числам Маха и Рейнольдса. В проведенных рас­четах отклоненный предкрылок и элементы многозвенного закрылка заменялись плоскими пластинами с соответствующими наклоном и хордой. При этом учитывалось продольное выдвижение предкрылка и закрылка, сопровождающееся увеличением площади крыла в плане.

Сравнение данных расчета с трубным и летным экспериментами дает основание полагать, что циркуляции, полученные в расчете, бу­дут близки к реальным. Косвенным подтверждением этому служат результаты расчета [22] для самолета В-737. Размах крыла самолета l = 28,9 м, площадь крыла S = 105 м2, скорость полета Vж = 73м/с, масса m = 46000 кг; крыло имеет трехзвенный выдвижной закрылок. В работе [22] показано, что оценки, полученные на основе анали­за экспериментальных данных, дают значение циркуляции скорости
на посадочном режиме (H = 60 м) Г0 = 225м2/с; расчетные данные в зависимости от углов отклонения механизации находятся в диапазоне Г0 = 195-267 м2/с. Это подтверждает правильность расчета циркуля­ций в ближнем вихревом следе.

Расчет обтекания схематизированной модели самолета заданной геометрии (крыло, горизонтальное и вертикальное оперение) в линей­ной постановке с помощью МДВ [7, 20] выполняется с учетом откло­нения или выдвижения закрылков на взлетно-посадочных режимах. В итоге находят распределение циркуляции по размаху крыла с учетом вклада вихревой системы горизонтального оперения, а при наличии Бокового ветра —вклада вихревой системы вертикального оперения. Специальные исследования показали, что полученные таким образом значения циркуляции мало зависят от высоты полета; заметный эф­фект влияния земли проявляется лишь при значениях высоты меньше полуразмаха крыла самолета.

Для определения положения дальнего вихревого следа самолета применяли метод дискретных вихрей [20, 22]. Расчет производился по известным формулам, полученным из закона Био-Савара:

(7.4)

где uyi и uzi — компоненты скорости для *-го вихря, yi, Zi, yj, Zj — соот­ветственно координаты і-го и j-ro вихрей, rij = (yi — yj)2 + (zi — Zj)2, Г — циркуляция j-ro вихря.

Рассмотрим модель вихревого жгута в виде области в форме окруж­ности с равномерной завихренностью внутри нее. Это достигается распределением внутри области Большого числа вихрей с одинаковой циркуляцией. Рассчитаем индуцированную данным жгутом вихревую скорость uyz на горизонтальной прямой, проходящей через центр жгу­та. В соответствии с зависимостями (7.4) можно получить вертикаль­ную uyi и горизонтальную uzi компоненты скорости в точках, распо­ложенных на этой прямой. В этом случае суммирование проводится по всем вихрям, соответственно yi, Zi, — координаты точек прямой, rj — квадрат расстояния от і-ой точки до j-го вихря. В результате получим полную скорость ui в і-ой точке прямой:

ui = /u2yi + u2zi ■ (7.5)

Выражение (7.5) определяет модуль индуцированной скорости. Хотя в данном случае горизонтальная составляющая скорости близка к ну­лю, использование выражения (7.5) оправдано, поскольку при расчете реальных полетов это условие не всегда выполняется. Полученный в результате расчета график представлен на рис. 7.6. Отметим, что

максимум модуля скорости наблюдается на границах области завих­ренности, а минимум — в ее центре, т. е. по графику скорости можно определить положение и размеры вихревого жгута.

Рассмотрим теперь вихревую схему ближнего следа схематизиро­ванной модели самолета в линейном приближении. Воспользуемся при этом заранее вычисленной базой данных, которая содержит значе­ния безразмерных производных циркуляций вихрей и их координаты. Для различных типов самолетов общее число вихрей в базе данных может составлять от 60 до 100. Циркуляции вихрей вычисляются в зависимости от условий полета. В данном случае будет рассмотрен ближний след самолета Боинг-727, находящегося на высоте 150 м (для исключения влияния земли), при скорости полета 72 м/с, отклонении закрылков на 25° и угле атаки 8,1°. Вихревая схема ближнего сле­да показана на верхней части рис. 7.7,а. В дальнейшем происходит сворачивание следа в два жгута —на правой половине самолета (все величины — с индексом 1) и левой (индекс 2). Вихри, образующиеся на вертикальном оперении, отметим индексом 0.

Для определения индуцированной скорости необходимо знать по­ложение двух центров вихревой системы, координаты которых вычис­ляли как отношение суммы произведений на соответствующие коор­динаты циркуляций каждого из вихрей, входящих в жгут, к сумме этих циркуляций. Вихри, образующиеся при наличии Бокового ветра на вертикальном оперении, в одинаковой степени могут быть отнесены к обоим жгутам, поэтому при расчете координат каждого из центров учитывалась поправка, равная половине вклада этих вихрей. Таким образом получаем следующие соотношения для правого жгута:

и аналогичные зависимости для левого жгута. Для выполнения усло­вия непротекания на поверхности земли в расчет включается система отраженных вихрей. Эти вихри расположены симметрично основным относительно поверхности земли и имеют противоположные знаки.

Рис. 7.7. Схема ближнего вихревого следа самолета Боинг 727 и профиля
модуля скорости в начальный момент времени (а), при t = 1с (б), t = 3с(в),
t = 10 c (г) и t = 30 с (д)

Индуцированная скорость, график которой — на рис. 7.7, а, полу­чена по соотношениям (7.4) и (7.5) аналогично предыдущему случаю. Видим, что скорость на графике имеет несколько максимумов и мини­мумов; это объясняется наличием вихревого следа не только за кры­лом, но и за отклоненными закрылками, а также тем, что вихревой след в начале расчета (t = 0) не свернут в жгуты.

Проследим за дальнейшим поведением следа. Картина изменяется уже через 1с (рис. 7.7, б). На графике скорости отчетливо наблюда­ются четыре максимума (по два справа и слева) и два небольших промежуточных максимума, что обусловлено отклонением закрылков
и неполным сворачиванием следа. Необходимо отмєтить, что все вихри имеют различную циркуляцию, причем в данном случае восемь вих­рей, расположенных вверху справа и симметрично им слева, обладают наибольшей циркуляцией и во многом определяют поведение вихревой системы в целом.

Через Зс после начала сворачивания промежуточные максимумы почти исчезают (рис. 7.7, в), а к десятой секунде развития вихрево­го следа можно говорить о его полной сворачиваемости (рис. 7.7, г). В дальнейшем на протяжении всего расчета не наблюдается существен­ного качественного изменения распределения скорости, индуцирован­ной вихревым следом самолета. На рис. 7.7, д показан вихревой след самолета и распределение скорости на тридцатой секунде расчета.